如何在 Python 中计算定积分和不定积分

Python 是一种多功能编程语言，为科学计算和数学计算提供库和工具。

许多基本的数学运算经常涉及定积分和不定积分。在本文中，我们将探讨如何使用 Python 执行这些计算。

如何计算单变量定积分

安装 SciPy

在开始之前，我们需要安装 SciPy 模块。它提供了我们将使用的数学算法和函数的集合。

您可以通过在终端中运行以下命令来完成此操作：

pip install scipy

要计算单变量定积分，我们需要首先导入quadfrom scipy.integrate。它是用于计算单变量定积分的通用函数。

from scipy.integrate import quad

基本函数

从这里开始，我们需要将被积数定义为 Python 中的函数。

例如，如果我们想计算 x 平方的积分，我们可以将被积函数定义为 Python 函数，如下所示：

def integrand(x): return x**2

一旦定义了被积函数，我们就可以使用四元函数计算定积分，如下所示：

print(quad(integrand, 0, 1)) 
# (0.33333333333333337, 3.700743415417189e-15)

上面代码中，0代表积分下限，1代表积分上限。它们可以是任何其他数字。

在这个例子中，我们计算出x平方从0到1的积分的估计结果约为0.333，绝对误差约为3.7e-15。

Quad 函数返回定积分估计值的元组，后跟估计值的绝对误差。

该quad函数的作用本质上是在积分极限之间的多个不同值处评估该integrand函数，以便能够计算积分的估计值。

另一个例子是，如果我想计算 的积分(x+1)/x**2。我们首先将其定义为 Python 中的函数，并将其quad与积分限制一起传递给函数：

from scipy.integrate import quad 
    def integrand(x): 
          return(x+1)/x**2  
print(quad(integrand, 1, 2)) 
# (1.1931471805599452, 1.3246594716242401e-14)

在这个例子中，我们计算出x+1在x平方上从1到2的积分的估计结果约为1.19，绝对误差约为1.32e-14。

其他常用功能

如果我们想使用常见的数学函数，例如sin(x)或log(x)，我们可以使用另一个用于科学计算的Python包——NumPy。您可以使用以下命令安装该软件包：

pip install numpy

通过导入它，我们可以访问这些可以在被积函数中使用的常用函数：

from scipy.integrate import quad 
from numpy import log, sin 
def integrand(x): 
    return log(sin(x)) 
print(quad(integrand, 0, 2)) 
# (-1.1022223889049558, 1.2237126744196256e-15)

在这个例子中，我们计算出log(sin(x))从0到2积分的估计结果约为-1.10，绝对误差约为1.22e-15。

NumPy 提供的数学函数的完整列表位于其文档中。

如何使用常量

NumPy 还提供有用的常量，例如e和pi以及inf。它是正无穷大的浮点表示。我们可以用它来计算收敛的定积分。

from scipy.integrate import quad 
from numpy import inf, exp 
def integrand(x): 
    return exp(-x) 
print(quad(integrand, 0, inf)) 
# (1.0000000000000002, 5.842606742906004e-11)

在本例中，我们计算出 e 从 0 到无穷大对负 x 积分的估计结果约为 1.00，绝对误差约为 5.84e-11。

如何计算多变量积分

二重积分

要计算二重积分，我们需要dblquad从以下位置导入函数scipy.integrate：

from scipy.integrate import dblquad

我们以类似的方式定义被积数，用一个变量来定义它，只是这次我们指定了两个参数。

def integrand(y, x):  
       return x*y**2

dblquad然后我们可以使用 给出的函数计算定积分scipy。

请注意，被积函数是一个需要接受y第一个参数和x第二个参数的函数。

print(dblquad(integrand, 0, 1, 2, 4)) 
# (9.333333333333334, 2.0679162295394134e-13)

在此示例中，我们计算出从 x = 0 到 1 以及从 y = 2 到 y = 4 的二重积分 x 乘以 y 平方的估计结果约为 9.33，绝对误差约为 2.07e-13。

该函数要求我们传入被积函数、 的积分下限和上限x，然后是 的积分下限和上限y。

可变限制

要计算具有可变极限的积分，我们需要定义 y 以 x 为单位的积分下限和上限的函数：

def upper_limit_y(x): 
    return x**2 
def lower_limit_y(x): 
    return x 
def integrand(y, x): 
    return x+y 
print(dblquad(integrand, 0, 2, lower_limit_y, upper_limit_y))

在这个例子中，我们计算出 x+y 从 x = 0 到 x = 2，以及从 y = x 到 y = x^2 的二重积分的估计结果约为 3.2，绝对误差约为 1.10e- 13.

三重积分

为了计算三重积分，我们可以使用以下tplquad函数：

from scipy.integrate import tplquad 
def integrand(z, y, x): 
    return z*(x+y+z) 
print(tplquad(integrand, 0, 1, 4, 5, 0, 1)) 
# (2.8333333333333335, 3.6983326566167174e-14)

该函数要求我们传入类似的参数，即 、 和 中积分的上限和x下限。yz

在本例中，我们计算从 x = 0 到 x = 1、y = 4 到 y = 5、z = 0 到 z = 1 的 z 三重积分乘以 (x+y+z) 的估计结果约为 2.83，绝对误差为 3.70e-14：

如何计算单变量不定积分

要使用 Python 计算单变量不定积分，我们需要使用 SymPy 库。它用于符号计算并涉及使用变量的精确计算。要安装它，请安装 SymPy 模块：

pip install sympy

安装后，我们可以从以下位置导入Symbol和方法：integratesympy

from sympy import Symbol, integrate

我们首先需要定义被积函数中使用的变量：

x = Symbol('x')

之后，我们就可以使用integrateSymPy提供的方法来集成该功能了。它需要两个参数：第一个是被积函数，第二个是我们要积分的变量。

例如，如果我们想要对 x 平方进行积分x，我们可以在 Python 中将被积函数定义为x**2：

print(integrate(x**2, x)) 
# (x**3)/3

在此示例中，我们计算 x 平方的积分，即 x 立方除以 3 的结果。

请注意，SymPy 不会添加积分常数，但它是隐含的。

SymPy还提供了我们可以使用的其他常用函数，例如sin(x)和。exp(x)

在使用它们之前，我们首先需要从以下位置导入它sympy：

from sympy import Symbol, integrate, sin

使用导入的sin函数，我们可以计算 的积分sin(x)。

x = Symbol('x') 
print(integrate(sin(x), x)) 
# -cos(x)

在这个例子中，我们计算 sin(x) 的积分，即 -cos(x)：

Sympy 提供了您可以在其文档中使用的数学函数的完整列表

概括

在本教程中，我们回顾了如何在 Python 中计算定积分和不定积分的基础知识。我们还研究了如何计算基本函数的积分、涉及常见数学函数的积分以及如何使用常量。

我们利用流行的 Python 库进行科学计算，并回顾了计算积分的示例。